Análisis del comportamiento gráfico de una función polinomeal

 Si el grado mayor de un polinomio es impar, pueden existir 2 posibilidades:

a) si a es positivo las gráficas serán crecientes.

b) si el valor de a es negativo, la gráfica va a decaer.

Si el grado mayor es par, se tiene 2 posibilidades:

a) si a es positivo las ramas de la gráfica abrirán hacia arriba.

b) si el valor de a es negativo, las ramas abren hacia abajo.

 

- Una función polinomeal tiene la característica de ser siempre continua sin interrupciones a lo largo de su trayectoria en todo su dominio, es decir, el dominio son todos los reales.

Raíces y gráfica de una función de 4to grado

Para obtener las raíces de esta función se aplica el mismo método que para las funciones de tercer grado, sólo que esta vez se tendrá que dividir dos veces.

Ejemplo: obtener raíces y gráfica de la función:

x⋀4 - x⋀3 - 16x⋀2 + 4x + 48 = f(x)

✶ Los factores de 48, son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12

✶ Sustituimos uno de los factores en la ecuación, en este caso será dos.

✶ Se divide la ecuación entre ese factor, es necesario cambiarle el signo al contrario.

✶ Ahora hay que buscar otro factor, en este caso 4 y volvemos a dividir.

✶ Graficamos con números cerca a los factores 

Ecuaciones cúbicas

Si multiplicamos 2 o más binomios obtenemos una ecuación de primero o segundo grado, al multiplicar un binomio obtendremos una ecuación de n grados.

(x+a) (x+b)

x(x)+x(b)+a(x)+a(b)

x⋀2 + x (b+a) + ab

Efectuar la multiplicación del binomio de (x+2) (x-3) = x⋀2-x-6

Si se conoce la expresión cúbica para conocer los factores de una fracción debes obtener las raíces de la expresión:

Por ejemplo:  f(x) = x⋀3 + 3x⋀2 - 4x -12    → función

                         0 = x∧3 + 3x⋀2 - 4x -12     → ecuación

✿ Se obtienen los factores del término sin x, en este caso -12, ¿qué números se pueden multiplicar para que salga -12?

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

(-3)(1)(4)= -12

(6)(1)(-2)= -12

….. y muchos más

✿ Se sustituyen uno de los factores (el que sea). En este caso 1. Es importante que el número que sustituyamos de 0 en la ecuación.

✿ Dividimos la ecuación entre el factor x-2 y comprobamos.

✿ Por último efectuamos la gráfica: 

División sintética

La división sintética es un algoritmo para rápidamente dividir polinomios cuando el divisor está en el x-r de la forma. La división sintética formalmente se llama la regla de Ruffini. La división sintética es de uso general verificar raíces de un polinomio.

Pasos para llevar a cabo la división sintética:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Por ejemplo: 

División de polinomios

La comprobación de una división se efectúa de la siguiente manera:

(cociente)(divisor) + residuo = dividendo

Algunas ecuaciones de grado superior A2 se pueden factorial en dos o más términos que nos permiten reducir las expresiones de forma más sencilla para resolverlas.

ejemplo: dividir el polinomio 3x⋀2 + x - 1 entre el binomio x+2

La división se efectúa de la misma manera que una división normal.

Ecuaciones Bicuadráticas

Una ecuación bicuadrática es una ecuación de cuarto grado que sólo tiene términos x⋀4, x⋀2 y el término constante.

Para traficarla podemos transformarla en una ec. cuadrática y encontrar sus soluciones.

Ejemplo: Graficar la ec. bicuadrática: x⋀4-2x⋀2-8 = 0

x⋀4→ y⋀2

x⋀2→ y

Vamos a sustituir la ecuación pero ahora con y, de acuerdo con las igualdades que están arriba, quedaría:

y⋀2-2y-8=0

Tenemos que buscar dos números que sumados den -2 y multiplicados -8. Los dos números serán -4 y 2

Factorizamos:

(y+2) (y-4) = 0

y+2=0

y= -2

y-4=0

y=4

y=x⋀2 y sustituimos

 x⋀2= -2                         x⋀2= 4

Sacamos sus respectivas raíces, la primera será imaginaria; entonces tenemos:

x1= 2      x2= -2

Y graficamos:

Análisis del discriminante

Análisis del discriminante:

raíz cuadrada de b - 4ac

Cuando el discriminante es mayor a 0 se obtienen 2 soluciones diferentes y el eje de las abscisas x, se corta dos veces; b - 4ac > 0

Cuando el discriminante es igual a 0, obtendremos 2 soluciones iguales y el eje x se corta una vez y es tangente al vértice; b - 4ac = 0

Cuando el discriminante es menor a 0 la solución son dos raíces complejas y conjugadas y no corta al eje x en ningún punto; b - 4ac < 0

Ejemplo:

Obtención de los ceros o raíces de las funciones polinomeales

a) Ecuación cuadrática  ax2+bx+c=0

ejemplo: obtener las raíces de la ec x∧2+x+6=0

- 2 números que sumados sean igual a b
- multiplicados =c =-b

Los números son 3 y -2 (vamos a factorizar)

(x+3)      (x-2) = 0
x+3=0     x-2=0
x1= 3       x2= 2


xv= -b/2a
xv= -(1)/2 = -.5

yv= (-.5)(-.5) + (-.5) - 6 = 6.25

Función Polinomeal

Una función polinomeal tiene la forma:

f(x) = a_nXⁿ + a_{n1 − 1}Xⁿ − 1 + a_{n − 2}Xⁿ − 2 + ... + a₁ + a₀ 

En donde ¨n¨ es un número entero positivo.

El dominio de una función polinomeal, siempre va a ser el conjunto de los reales: R


a) Función de la forma:  f(x) = a0

Está función es una constante y su gráfica es una línea recta horizontal, situada en a0.
- La gráfica será horizontal paralela a el eje x.


b) Función de la forma:  f(x)= a0+a1x1

Está nos dará como gráfica una función lineal con inclinación, dependiendo de a1 será negativa (izquierda) o positiva (derecha).


c) Forma: f(x)= a0+a1x1+a2x2

Está función nos da una gráfica en forma de parábola, ya que representa un función cuadrática y para traficarla hay que seguir estos pasos:

1. encontrar el vértice de la función a partir de la siguiente fórmula -a1/2a2. La ordenada se obtiene al sustituir el valor de x en la función.

2. sustituir algunos valores que se encuentren cercarnos al valor de x (la que obtuvimos en la paso 1).

Unidad 1. Funciones Polinomerales

Una función es un conjunto de parejas ordenadas, en la cuál no puede haber relacionados dos elementos de un conjunto con un elemento del otro conjunto.

Al conjunto formado por los primeros elementos se le llama dominio y al otro conjunto se le llama contra-dominio o rango, y para establecer la asociación de los elementos del dominio con los elementos del contra-dominio, existe una regla de correspondencia.

Por ejemplo:

Alumnos    Calificación
Miguel               8
Nabil                 7
Yessica             8
Javier               10
David              NP

Mi dominio es: {Miguel, Nabil, Yessica, Javier y David}

Mi rango es: {8, 7, 8, 10, NP}

Regla de correspondencia: ¨Calificación de taller de computo¨.


Otro ejemplo:

❖ Si el kilogramo de azúcar tiene un costo de $5, ¿Cuánto se pagará por 2, 3, 4.5, 5 y 6.5 kg respectivamente?

Tenemos que, mi dominio será: {2, 3, 4.5, 5 y 6.5}

Y obtendremos el rango de la siguiente manera: f(x) = 5x
2x5= 10
3x5= 15
4.5x5= 22.5
5x5= 25
6.5x5= 32.5

Rango: {10, 15, 22.5, 25, 32.5}

Regla de correspondencia: ¨Precio por kg¨


► Entonces tenemos que una función es una regla de correspondencia en la que a todo elemento del conjunto D (dominio) está asociada con 1 y sólo 1 de los elementos del rango.

Para detonar una función se emplea la sig. expresión:  f: A→B
Y la regla de correspondencia se establece por medio de la expresión:  f(x)